Uma função linear (afim) tem a forma y = ax + b. O coeficiente a é a inclinação da reta — quanto y muda para cada 1 unidade que x aumenta. O coeficiente b é onde a reta cruza o eixo Y (ponto vermelho), chamado de coeficiente linear.
Mexa no slider a: valores positivos deixam a reta subindo (crescente), negativos deixam descendo (decrescente), e quanto maior o valor absoluto, mais "inclinada" fica. Mexa no b e veja a reta inteira deslizar para cima ou para baixo, sem mudar sua inclinação.
Cálculo de tarifas com taxa fixa + valor por unidade (táxi, conta de luz), conversão entre unidades, previsão de tendências simples, e é a base de quase todo modelo estatístico (regressão linear).
Uma função quadrática tem a forma y = ax² + bx + c e seu gráfico é sempre uma parábola. O sinal de a decide se ela abre para cima (a > 0, concavidade para cima) ou para baixo (a < 0). O ponto mais alto ou mais baixo da curva é o vértice.
As raízes (onde a curva cruza o eixo X) são encontradas pela fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √Δ) / 2a, onde Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0 existem duas raízes reais, se Δ = 0 existe uma raiz (a parábola toca o eixo em um ponto), e se Δ < 0 a parábola não toca o eixo X.
Trajetória de projéteis e objetos em queda livre (física), cálculo de lucro máximo em economia, design de antenas parabólicas e faróis (que usam a propriedade reflexiva da parábola), e otimização de área/custo em problemas de engenharia.
Cada tipo de função tem um "formato" característico de crescimento. Comparar várias no mesmo gráfico ajuda a enxergar como elas se comportam de forma diferente conforme x cresce ou fica negativo.
Ative e desative as curvas para comparar. Repare que para x entre −1 e 1, x³ e x² crescem mais devagar que x, mas para x grande, x² e x³ disparam muito mais rápido — isso é a ideia por trás de "complexidade" de algoritmos (O(n) vs O(n²) vs O(n³)) que você viu em Algoritmos.
Análise de complexidade de algoritmos, modelagem de crescimento populacional e físico, e escolha do tipo certo de modelo matemático para ajustar dados reais.
O círculo unitário tem raio 1 e centro na origem. Para qualquer ângulo θ medido a partir do eixo X (sentido anti-horário), o ponto sobre o círculo tem coordenadas (cos θ, sen θ). À direita, a mesma função sen(θ) é "desenrolada" ao longo do eixo horizontal, formando a clássica onda senoidal.
Gire o ângulo θ (ou clique em "Animar") e observe: a linha vermelha vertical mede o seno — a altura do ponto. A linha verde horizontal mede o cosseno — a posição horizontal. Com o triângulo ativado, veja que sen/cos/tan são só razões entre os lados: cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa (que aqui vale sempre 1).
Gráficos e jogos (rotações, movimento circular, animações de câmera), processamento de áudio e sinais (toda onda sonora é soma de senos e cossenos), engenharia (análise de vibração, corrente alternada) e GPS/navegação (triangulação).
A derivada f'(x) mede a inclinação instantânea da curva em um ponto — o quão rápido f(x) está mudando naquele exato instante. Ela é calculada como o limite da inclinação de uma reta secante (que liga dois pontos da curva) quando a distância h entre eles tende a zero.
Diminua o slider h até quase zero: a reta secante (que liga os pontos vermelho e verde) vai se aproximando cada vez mais da reta tangente exatamente no ponto x — essa é a ideia central do cálculo diferencial, formalizada como f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h.
Velocidade e aceleração em física (derivadas de posição), otimização (encontrar máximos/mínimos em economia e engenharia), machine learning (gradiente descendente usa derivadas para "descer a colina" do erro), e curvas de crescimento em biologia e epidemiologia.
A integral de f(x) entre a e b representa a área sob a curva nesse intervalo. Uma forma de aproximar essa área é fatiar o intervalo em n retângulos finos (uma Soma de Riemann) e somar a área de cada um: base × altura.
Aumente o slider n (número de retângulos): quanto mais fatias finas, mais a soma dos retângulos se aproxima da área real sob a curva. No limite, quando n → ∞, essa soma se torna exata — é a definição formal da integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx.
Cálculo de distância percorrida a partir da velocidade, área e volume de formas irregulares, probabilidade (área sob curvas de distribuição), engenharia (trabalho, energia, centro de massa), e renderização gráfica (integração de luz em ray tracing).
Um vetor representa uma direção e uma magnitude (comprimento) — pense nele como uma "seta" saindo da origem. A soma de vetores (u + v) é obtida colocando a cauda de v na ponta de u (regra do paralelogramo). O produto escalar (u·v) mede o quanto dois vetores "apontam na mesma direção".
Arraste as pontas das setas azul (u) e verde (v) diretamente no canvas. A magnitude é |u| = √(x² + y²) (Teorema de Pitágoras). O produto escalar é u·v = ux·vx + uy·vy; quando ele é zero, os vetores são perpendiculares. O ângulo entre eles vem de cos(θ) = (u·v) / (|u|·|v|).
Física (força, velocidade, aceleração), computação gráfica e jogos (posição, movimento de personagens, direção de câmera), machine learning (similaridade entre vetores de características), e física de colisões.
Uma matriz 2×2 descreve uma transformação linear do plano: cada ponto (x, y) vira um novo ponto ao ser multiplicado pela matriz. As colunas da matriz dizem exatamente para onde vão os vetores base î = (1,0) e ĵ = (0,1) — e isso já define a transformação inteira.
Experimente as predefinições ou edite a matriz diretamente. O determinante (ad − bc) mostra quanto a área do quadrado unitário muda: determinante 2 dobra a área, determinante 0 "achata" tudo em uma linha, e determinante negativo inverte a orientação (como um espelho).
Todo motor gráfico 2D/3D usa matrizes para posicionar, rotacionar e escalar objetos (o mesmo princípio das transformações geométricas que você viu em Computação Gráfica), compressão de imagens, sistemas de equações lineares, e redes neurais (cada camada é essencialmente uma transformação matricial).
Uma fração a/b representa "a partes de um total dividido em b partes iguais". Aqui cada fração vira uma figura dividida — pizza ou barra — com as partes "escolhidas" pintadas, tornando visível de forma imediata que fração é maior, menor ou equivalente.
Mude o numerador e o denominador com os sliders. Ative "Comparar com Fração B" para ver duas frações lado a lado — perfeito para visualizar por que, por exemplo, 2/3 é maior que 3/5 mesmo os números parecendo "menores".
Culinária (medidas de ingredientes), divisão de recursos e orçamento, probabilidade (chances expressas como frações), e é a base para entender porcentagens, razões e proporções no dia a dia.
Uma sequência é uma lista ordenada de números que segue uma regra. Na aritmética soma-se sempre o mesmo valor; na geométrica multiplica-se sempre pelo mesmo valor; em Fibonacci cada termo é a soma dos dois anteriores; e os números triangulares contam quantos pontos formam um triângulo equilátero (1, 3, 6, 10...).
Escolha o tipo de sequência e ajuste os parâmetros. Repare na forma do crescimento nas barras: a aritmética cresce em "degraus iguais" (reta), enquanto a geométrica e Fibonacci crescem cada vez mais rápido (curva exponencial) — a mesma ideia de crescimento explosivo que aparece em juros compostos ou espalhamento de vírus.
Fibonacci aparece em padrões da natureza (conchas, girassóis, pinhas) e é usado em algoritmos de estrutura de dados; sequências geométricas modelam juros compostos e decaimento radioativo; sequências aritméticas aparecem em cronogramas e progressões de preço.
As seções cônicas — círculo, elipse, parábola e hipérbole — são as curvas que aparecem ao cortar um cone com um plano em ângulos diferentes. Cada uma tem uma definição baseada em distância até um ou dois focos: um círculo é o conjunto de pontos a uma distância fixa do centro; uma elipse, o conjunto de pontos cuja soma das distâncias aos dois focos é constante; uma hipérbole usa a diferença; e uma parábola é equidistante de um foco e de uma reta (diretriz).
Escolha o tipo de cônica e ajuste os parâmetros para ver a curva e os focos mudarem juntos. Repare que o círculo é apenas um caso especial da elipse, quando os dois semieixos (e os dois focos) coincidem.
Órbitas de planetas e satélites são elipses (Leis de Kepler), antenas parabólicas e faróis usam a propriedade reflexiva da parábola (concentrar ou espalhar sinais/luz a partir de um único foco), sistemas de navegação por hipérboles (LORAN), e engenharia de arcos e cúpulas.
Uma função associa cada elemento do domínio (A) a exatamente um elemento do contradomínio (B). A forma como essas setas se distribuem define três propriedades importantes:
Elementos diferentes do domínio nunca apontam para o mesmo elemento de B — ou seja, se f(a₁) = f(a₂), então necessariamente a₁ = a₂. Nenhuma seta colide com outra. No gráfico, isso significa que nenhuma reta horizontal cruza a curva mais de uma vez.
Todo elemento de B recebe pelo menos uma seta — não sobra nenhum elemento "esquecido" no contradomínio. No gráfico, isso significa que toda reta horizontal y = k, para qualquer k real, cruza a curva pelo menos uma vez.
Quando a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, cada elemento de A é pareado com exatamente um elemento de B e vice-versa — o pareamento é completo e reversível, o que permite construir uma função inversa. Use os botões acima para comparar os quatro casos e arraste o slider k para testar diferentes alturas da reta horizontal.
Um sistema de equações lineares com duas incógnitas é um conjunto de retas no plano. "Resolver o sistema" significa encontrar o(s) ponto(s) (x, y) que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo — ou seja, onde as retas se cruzam.
Mexa nos sliders de inclinação (m) e intercepto (b) de cada reta. Existem exatamente três cenários possíveis: se as retas têm inclinações diferentes, elas se cruzam em um único ponto (solução única). Se têm a mesma inclinação mas interceptos diferentes, são paralelas e nunca se cruzam (sem solução). Se são idênticas (mesma inclinação e mesmo intercepto), toda a reta é solução (infinitas soluções).
Ponto de equilíbrio entre oferta e demanda em economia, misturas e ligas em química/engenharia, resolução de circuitos elétricos (Leis de Kirchhoff), otimização (programação linear) e como base para sistemas maiores resolvidos por Álgebra Linear (matrizes, seção acima).
O plano de Argand representa um número complexo z = a + bi como um ponto (ou vetor saindo da origem) com parte real a no eixo horizontal e parte imaginária b no eixo vertical. Todo número complexo também tem uma forma polar: r∠θ, onde r é a distância até a origem (módulo) e θ é o ângulo com o eixo real (argumento).
Multiplicar dois números complexos em forma polar é surpreendentemente simples: os módulos se multiplicam e os ângulos se somam — (r₁∠θ₁) × (r₂∠θ₂) = (r₁·r₂)∠(θ₁+θ₂). Ou seja, multiplicar z por w não é uma operação abstrata: é literalmente girar z pelo ângulo de w e escalar z pelo módulo de w. Mexa no ângulo de w e veja o vetor vermelho (z·w) girar ao redor da origem; mexa no módulo de w e veja ele esticar ou encolher.
Arraste a ponta azul (z) livremente no canvas, ou use os sliders. Os sliders de w já estão em forma polar (r e θ) de propósito — assim fica óbvio que "multiplicar por w" é só "girar θ graus e escalar por r". Os arcos coloridos mostram os ângulos θz (de z) e θz+θw (do produto), evidenciando que os ângulos realmente se somaram.
Multiplicar por w = a+bi é uma transformação linear do plano — a mesma ideia da seção de Álgebra Linear (matrizes). Na verdade, multiplicar qualquer ponto (x,y) por w equivale a aplicar a matriz de rotação+escala [[a, −b], [b, a]] a esse ponto. É por isso que rotações 2D em jogos e computação gráfica são, por baixo dos panos, multiplicação de números complexos disfarçada de matriz.
Todo ponto no espaço 3D pode ser descrito de três jeitos diferentes — são só "idiomas" diferentes para o mesmo lugar. Cartesianas (x,y,z) usam três distâncias ao longo dos eixos. Cilíndricas (ρ,φ,z) usam a distância até o eixo z, um ângulo ao redor dele, e a altura — como um GPS baseado num poste vertical. Esféricas (r,θ,φ) usam a distância até a origem e dois ângulos — como latitude/longitude, só que com o polo no eixo z.
Escolha qual sistema vai controlar o ponto nos botões acima, mexa nos sliders, e observe a caixa de fórmula atualizando as três representações simultaneamente — trocar de sistema não move o ponto, só muda o "idioma" usado pra descrevê-lo. Os sliders de câmera giram a cena pra você enxergar a construção geométrica (ρ, o ângulo φ no chão, e o ângulo θ a partir do eixo vertical) de qualquer lado.
Cilíndrico → Cartesiano: x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z. Esférico → Cartesiano: x=r·sinθ·cosφ, y=r·sinθ·sinφ, z=r·cosθ. Cartesiano → Cilíndrico: ρ=√(x²+y²), φ=atan2(y,x). Cartesiano → Esférico: r=√(x²+y²+z²), θ=acos(z/r).
Cilíndricas: engenharia mecânica (peças torneadas), campos eletromagnéticos ao redor de fios. Esféricas: coordenadas geográficas (latitude/longitude), gráficos de antenas, mecânica orbital, e a forma como jogos e câmeras 3D posicionam um observador "orbitando" um alvo (exatamente como a câmera desta visualização).
Cada sólido aqui é construído a partir de vértices e faces reais em 3D — a mesma ideia usada em qualquer motor de jogos ou software de modelagem. Arraste o canvas pra girar a câmera ao redor do sólido, mexa nos sliders de dimensão, e veja a área de superfície (quanto material cobriria o sólido por fora) e o volume (quanto espaço ele ocupa) recalculados ao vivo.
Área de superfície soma a área de todas as faces externas — é o que você pintaria, ou o papel que embrulharia o sólido. Volume mede o espaço 3D interno — é o que você encheria com água. Repare que, ao aumentar uma dimensão, o volume cresce muito mais rápido que a área (por isso animais grandes perdem calor mais devagar que pequenos: a razão área/volume cai conforme o tamanho aumenta).
Cubo: A=6a², V=a³. Cilindro: A=2πr²+2πrh, V=πr²h. Cone: A=πr²+πrl (l=√(r²+h²)), V=⅓πr²h. Esfera: A=4πr², V=(4/3)πr³. Pirâmide de base quadrada: A=a²+2al (l=√(h²+(a/2)²)), V=⅓a²h.
Engenharia e arquitetura (cálculo de material e capacidade de reservatórios/silos), embalagens (minimizar área de superfície = menos material), biologia (relação área/volume em células e organismos), e computação gráfica/jogos (todo objeto 3D é, no fundo, uma malha de vértices e faces como estas).
O Teorema de Pitágoras diz que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado maior, oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² + b² = c². Na primeira visualização, cada lado do triângulo vira o lado de um quadrado, e a área desses três quadrados é literalmente a² , b² e c².
A "prova visual" mostra por quê isso é sempre verdade, sem nenhuma álgebra: pegamos 4 cópias idênticas do mesmo triângulo retângulo e as encaixamos de dois jeitos diferentes dentro do mesmo quadrado grande de lado (a+b). No Arranjo 1, o espaço que sobra no meio é um quadrado de área c². No Arranjo 2, o espaço que sobra são dois quadrados separados, de área a² e b². Como o quadrado grande é o mesmo nos dois casos (mesma área total, mesmos 4 triângulos ocupando o mesmo espaço), o que sobra também tem que ser igual: c² = a² + b².
Calcular distâncias em linha reta (mapas, GPS, a fórmula da distância entre dois pontos), construção civil (verificar se um canto é realmente reto — o famoso "3-4-5" dos pedreiros), navegação, física (decompor vetores), e é a base da fórmula da norma euclidiana usada em praticamente toda a matemática aplicada e computação gráfica.
Um diagrama de Venn representa conjuntos como círculos: cada elemento aparece dentro do(s) círculo(s) do(s) conjunto(s) a que pertence. As regiões onde os círculos se sobrepõem mostram elementos que pertencem a mais de um conjunto ao mesmo tempo. Digite os elementos de cada conjunto e escolha uma operação para ver a região correspondente destacada em azul, com o resultado calculado logo abaixo do diagrama.
A ∪ B (união) reúne tudo que está em A ou em B. A ∩ B (interseção) pega só o que está em ambos. A − B (diferença) é o que está em A mas não em B. A △ B (diferença simétrica) é o que está em exatamente um dos dois, nunca nos dois. Aᶜ (complemento) é tudo do universo que não está em A.
No modo de 3 conjuntos, A ∩ B inclui, corretamente, a região central (onde A, B e C se sobrepõem) — afinal, quem está nos três também está em A e em B ao mesmo tempo. Se você quiser destacar só a "lua" onde apenas A e B se cruzam, sem tocar em C, use as opções Só A ∩ B (sem C), Só A ∩ C (sem B) e Só B ∩ C (sem A).
Bancos de dados e SQL (JOIN, INTERSECT, EXCEPT são literalmente operações de conjuntos), filtros de busca (combinar critérios com E/OU), teoria da probabilidade (eventos e espaço amostral), classificação de dados e machine learning, e circuitos lógicos digitais.
Digite ou escolha uma expressão para ver uma explicação específica sobre o que ela significa.
Uma tabela-verdade lista todas as combinações possíveis de valores (Verdadeiro/Falso) para as variáveis de uma expressão lógica e mostra o resultado da expressão em cada uma. Com n variáveis existem 2ⁿ combinações. Digite qualquer expressão usando p, q e r (opcional) e a tabela é gerada automaticamente.
Tautologia: a expressão é sempre verdadeira, não importa os valores das variáveis (linhas todas em verde). Contradição: é sempre falsa (linhas todas em vermelho). Contingência: depende dos valores — às vezes verdadeira, às vezes falsa.
Projeto de circuitos digitais e portas lógicas, condições em programação (if/else, expressões booleanas), simplificação de código, verificação formal de software, cláusulas WHERE em bancos de dados, e a base de toda a computação binária.
Dividir N por D significa distribuir N moedas igualmente entre D pessoas, uma moeda de cada vez, dando uma rodada completa (uma moeda para cada pessoa) sempre que possível. O número de moedas que cada pessoa recebe é o quociente (Q). Quando não sobram moedas suficientes para completar mais uma rodada inteira, elas ficam de fora, sem dono — é o resto (R). Essa relação vale sempre: N = D × Q + R, com 0 ≤ R < D.
Por exemplo: 3 moedas para 3 pessoas — dá pra fazer 1 rodada completa, cada pessoa recebe 1 moeda, e não sobra nada (3 = 3×1+0). Já 10 moedas para 3 pessoas — dá pra fazer 3 rodadas completas (cada pessoa recebe 3), e sobra 1 moeda sem dono, pois não é suficiente pra mais uma rodada: 10 = 3×3+1.
Dividir uma conta ou um prêmio igualmente entre pessoas, embalar produtos em caixas de tamanho fixo, escalas e turnos de trabalho, relógios e calendários (horas mod 12/24, dias da semana mod 7), e paginação/loops circulares em programação.
Se bx = y, então log_b(y) = x — são a mesma relação, só que perguntada ao contrário. A exponenciação parte do expoente e pergunta "qual é o resultado?"; o logaritmo parte do resultado e pergunta "qual foi o expoente?".
Como as duas funções são inversas uma da outra, seus gráficos são reflexos um do outro em torno da reta y = x — assim como um espelho troca "quem manda" entre os eixos x e y. Mova o slider de expoente e veja o ponto (x, bˣ) na curva azul e seu espelhado (bˣ, x) na curva verde, sempre à mesma distância da linha de espelho.
Quando uma grandeza cresce multiplicando por um fator fixo a cada passo (o clássico "crescimento exponencial"), numa escala normal (linear) os primeiros valores ficam praticamente colados no eixo, e o gráfico logo "estoura" pra fora do desenho. Numa escala logarítmica, cada casa representa "×10" (ou outro fator), então multiplicar sempre pelo mesmo número vira um passo do mesmo tamanho — por isso a curva vira uma reta, e cabe inteira no mesmo desenho, do menor ao maior valor.
Escala Richter de terremotos, decibéis (som), pH (acidez), magnitude de estrelas em astronomia, complexidade de algoritmos (busca binária é O(log n)), compressão de áudio/imagem, e o próprio "número de dígitos" de um número (log₁₀ arredondado pra cima).
Na sequência de Fibonacci, cada termo é a soma dos dois anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Se você desenhar quadrados com esses tamanhos, um encostado no outro (sempre girando 90°), eles se encaixam perfeitamente sem sobrar nem faltar espaço, formando um retângulo cada vez maior. Um arco de 90° dentro de cada quadrado, emendado com o do quadrado seguinte, desenha a espiral.
Divida um termo de Fibonacci pelo anterior — F(n+1) / F(n) — e repita para termos cada vez maiores. O resultado se aproxima cada vez mais de um número irracional especial, a razão áurea: φ = (1+√5)/2 ≈ 1,6180339887... Essa é a proporção entre os lados de dois quadrados consecutivos da espiral, e também a proporção de um "retângulo áureo": se você recorta o maior quadrado possível dele, o retângulo que sobra tem exatamente a mesma proporção do original — um padrão que se repete infinitamente (autossimilaridade), o mesmo efeito visível nos quadrados encaixados da espiral.
Padrões de crescimento na natureza (disposição de folhas, sementes de girassol, conchas do nautilus), composição em design, fotografia e arquitetura (a razão áurea como guia estético), algoritmos de busca (busca da razão áurea em otimização), e estruturas de dados como heaps de Fibonacci.
Num triângulo retângulo, os três lados têm nomes em relação a um dos ângulos agudos (θ): o cateto oposto (o lado "na frente" do ângulo, que não o toca), o cateto adjacente (o lado que encosta no ângulo, sem ser a hipotenusa), e a hipotenusa (o maior lado, sempre oposto ao ângulo reto). As três razões trigonométricas comparam dois desses lados de cada vez.
SOH: Seno = Oposto / Hipotenusa. CAH: Cosseno = Adjacente / Hipotenusa. TOA: Tangente = Oposto / Adjacente. Mude o botão de razão acima e veja quais dois lados do triângulo ficam destacados — são exatamente os dois lados daquela divisão.
Para um mesmo ângulo θ, não importa o tamanho do triângulo — grande ou pequeno — essas razões dão sempre o mesmo valor, porque triângulos com o mesmo ângulo são semelhantes (proporcionais entre si). É por isso que basta saber o ângulo pra calcular todos os lados de um triângulo retângulo, sabendo só um deles: rampas e telhados (calcular altura sabendo o ângulo de inclinação), navegação e agrimensura, computação gráfica (rotações e projeções), e física (decompor forças e velocidades em componentes).
Uma equação diferencial da forma dy/dx = f(x, y) não dá a função y diretamente — ela dá a inclinação que a curva-solução deve ter em cada ponto (x, y) do plano. Desenhando um pequeno segmento de reta com essa inclinação em vários pontos da grade, obtemos o campo de direções: um retrato de "para onde" qualquer solução é empurrada, sem precisar resolver a equação.
Clique em qualquer ponto do plano: a curva vermelha "segue as setinhas" a partir dali, formando a solução da equação diferencial que passa por aquele ponto. Cada equação diferencial tem infinitas soluções — uma para cada ponto inicial escolhido — e o campo de direções mostra o formato de todas elas de uma vez.
Quando não é fácil (ou possível) resolver a equação analiticamente, o método de Euler aproxima a curva-solução numericamente: partindo do ponto inicial (x₀, y₀), dá um pequeno passo de tamanho h na direção indicada pelo campo, chega num novo ponto, recalcula a inclinação ali, dá outro passo, e assim por diante — como andar por um labirinto de setas seguindo sempre a que está debaixo dos pés. Passos menores (h pequeno) seguem o campo mais de perto e a aproximação fica mais próxima da curva exata; passos maiores acumulam mais erro a cada iteração.
Praticamente toda a física (movimento, circuitos elétricos, calor), crescimento populacional e epidemias (modelo SIR), reações químicas, engenharia de controle, economia (juros compostos contínuos, modelos de crescimento) e simulações em computação gráfica e jogos (física de partículas, molas, tecidos) — sempre que a taxa de variação de algo é mais fácil de descrever do que o próprio valor final.